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完全指南-不变量理论

关键要点

  • 不变量理论是数学的一个重要组成部分。
  • 简单来说,不变量是在某些操作应用于对象时保持不变的数学对象的数量。
  • 一些学者认为不变量理论是对群的作用和轨道的研究。
  • 有人认为不变量的消失表达了所有几何实际情况,但有人并不确定。

当有人提到不变量理论时,你会想到什么?这个概念和它听起来的复杂程度一样吗?这个概念意味着什么,它在现实生活中是否适用?下面的分析回答了所有这些问题,因此请继续阅读,了解关于不变量理论的一切你需要知道的东西。

不变量理论:定义

在我们定义不变量理论之前,我们必须定义术语“不变量”。在数学中,不变量是在特定操作或变换应用于对象之后保持不变的数学对象的数量。

例如,如果你旋转一个三角形,三角形的边长不会改变。因此,三角形的边长在旋转时是不变的。

不变量理论是抽象代数的一个分支。它涉及到代数几何和群的作用。同样,向量空间是代数几何的一个完美例子,在其上基于它们的功能影响进行分类。

不变量理论还涉及到显式多项式函数的描述,即使在从特定线性群变换时也会保持不变。例如,如果我们假设特定的线性群中的某个动作是通过矩阵n在n的位置上的sln,并通过左乘进行变换,那么行列式是不变的。这是因为当a保持在sln中时,a x determinant等于x determinant。

不变量理论还启发了矩阵的不变量理论的发展。根据这个理论的支持者,多项式函数结果来自于在同时共轭时保持不变的不同矩阵集合。然而,这些多项式函数必须在特定的无限域上有系数。

或者,这些矩阵可以有一个整数环。

什么是不变量理论?

不变量理论是数学的一个重要组成部分。乔治·布尔(george boole)开始了这个概念,随着时间的推移,它分支形成了其他几个独立的学科。在起初,数学家们以不变量为共同语言。

英国的早期数学家,如麦克马洪(macmahon)、萨蒙(salmon)、西尔维斯特(sylvester)、凯莱(cayley)、阿尔弗雷德·杨(alfred young)、特恩布尔(turnbull)、利特伍德(littlewood)和艾特肯(aitken),感觉到了不变量理论的意识形态的团结。代数几何学、代数组合学和微分代数是不变量理论的活跃分支。

有趣的是,到目前为止,不变量理论是除了函数论之外唯一一个对数学及其发展产生深远和持久影响的非凡数学理论。

尽管在过去的几个世纪里,不变量对数学家来说更具逻辑性,但它们在今天具有不同的含义和应用。例如,古典不变量理论作为一个概念的分支,经过近期专家的重新评估后,再次焕发生机,被认为已经死亡和被遗忘。许多统计学家和研究人员重新发明了古典不变量理论,并以更为严谨的方式呈现,使概念重现往日的辉煌。

其中,大卫·芒福德以他的几何不变量,以及aslaxen提出的矩阵不变量理论,都是其中之一。

因此,许多数学爱好者正在将古典不变量理论作为一种独立的数学定理进行研究。让我们深入了解不变量理论概念的历史;该概念有两个重要的转折点。第一个转折点涉及到概念的普及和创造出当前持久的影响。

第二个转折点导致了对概念的误解,与后者类似,这种误解至今仍然存在。一些学者将不变量理论定义为对群的行动和轨道的研究。同时,这个定义有一定的道理,但如果没有一个有计划的陈述来说明这个术语,它就是不完整的。

让我们通过观察一些学术争论来说明围绕不变量理论的误解。

赫尔曼·维尔在他的书《古典群》中提出了这样的论点:

  • 不变量的消失表达了几何的现实,以及
  • 所有不变量都符合张量的不变性。

这些陈述相当令人困惑。赫尔曼认为,不变量的消失表达了所有几何的现实,然而几何事实是独立于坐标系选择的空间。因此,您可以使用方程来描述几何的现实,但必须选择特定的坐标。

这是否否定了赫尔曼的定义。例如,向量空间v在具有n维的向量上选择适当的坐标系,如xi,x2,…,xn。毕竟,表达几何的现实的最佳方式是使用上述坐标。

令人震惊的是,最近一些物理学家和数学家发现,由变量xi,x2,…,xn生成的常规类型的方程组成的交换环是不足够的。因此,它们不能描述大多数物理和几何的现实。

布尔的发现促使这些专家引入了另一个称为非交换多项式函数环的环。像旧环一样,这个环适用于xi,x2,…,xn中的坐标。有趣的是,根据这些学者的说法,这个新环具有齐次元素,被称为齐次非交换多项式函数。这些元素出现在变量xi,x2,…,xn上,并更准确地称为张量。

因此,如果我们按照赫尔曼·维尔的哲学,接受张量代数方程足以描述所有几何的现实。同样,如果这些方程表达了几何的特性,那么它们不应该影响您选择的坐标。这意味着一个方程必须根据坐标变换来描述不可避免的几何事实。

最后,从发明者布尔的那些日子开始,不变理论的概念是将几何实体转化为张量,一种代数方程的形式。蒙福德也在他对该概念的扩展中包括了这些元素。因此,要将几何转化为代数,必须将张量代数进行分解,得到基于坐标变换的几个基本组成部分。

或者,可以设计一种系统的符号来表示每个不可约组成部分的不变量。围绕分解展开的讨论对全球的数学家来说都是一个重要的进展。分解可以如下所示:

考虑变量f(xi, x2, x3)的共同性,我们必须对三个变量有两个主导类的共同性。这使我们只剩下对称函数来满足方程fs(xi,x2,x3) = fs(xil,xi2,xi3)。接下来,我们将看到每个生成指数(l, 2, 3)到(i i, i2, i3)的排列以及所有的斜对称共同性,由方程fa (xi, x2, x3) = ±fa (xii’ xi2′ xi3)描述,并且符号+1或-1取决于指数(1, 2, 3)产生排列到(ii, i2, i3)是奇数还是偶数。

因此,一个具有三个变量的共同变量总结为斜对称和对称函数是不正确的。因此,必须有一个第三个共同变量(一个循环函数),我们可以使用方程fc(xi, x2, x3) + fc(x3, xi, x2) + fc(x2, x3, xi> = 定义。

乔治·布尔的半身像,位于科克学院大学。布尔在他的《线性变换的阐述》中引入了一种新的数学分支,即现在的不变理论。这个不变理论后来启发了爱因斯坦对相对论的研究。

不变理论如何工作?

不变理论在人工智能和机器学习中起着关键作用。该概念帮助机器学习专家以不同的方式理解和应用概念。例如,在粒子物理学中,不变理论帮助这些专家理解所有过程都是洛伦兹不变的,并且考虑到粒子可以是相同的,它们可以是排列不变的。这种身份使这些专家能够区分粒子。

同样,机器学习专家使用不变理论来了解分子性质中的原子身份、晶格、平移不变性、旋转不变性和排列不变性。下面是机器学习中不变理论的应用。不变理论的其他应用还包括下面解释的计算。

模型构建

使用机器学习算法,机器学习专家通过充分训练来构建模型。训练过程涉及对机器进行适应性测试。同样,训练帮助这些专家将机器校准和适应回归推理中。

训练这些机器的一种简单方法是将原始输入转化为与专家的不变性一致的不变量。在此步骤之后,专家使用这些影响作为参考点对机器进行训练。随着时间的推移,专家将不变性最大程度地嵌入到特定的模型中。

机器学习专家使用的另一种训练模型的方法是将原始输入转化为已知的不变性,并基于结果转换的数据来训练模型。例如,在旋转不变性中,专家会将原始数据旋转特定次数。旋转后,专家使用生成的旋转数据集来学习旋转不变性。

机器学习算法

机器学习专家使用两种区分的算法,即随机森林(rf)回归器和使用sci-kit learn实现的算法。rf包含一个由二叉决策树组成的集合。因此,专家们使用随机的数据集来训练每棵决策树。

训练者通过进行包括装袋在内的带替换的随机抽样过程来获取这些随机数据。然后,这些专家使用if-then类比来装备决策树的每个偏移量。这种逻辑确定了阈值和输入阶段,在这里专家们应该根据基尼不纯度得分降低将数据分割。

通过这个过程,专家们了解到所有以相似叶节点结尾的数据点具有相同的输出值。此外,这些专家使用输入特征的随机子集来向树生成过程中引入额外的随机性。这有助于他们为每个分支点确定正确的分割准则。

为了获得rf回归器的最终预测,这些专家计算了乐队中所有特定树的平均预测值。机器学习专家喜欢使用rf的原因是其易于执行和稳健性。rf只产生了可以调整的最大树深度和集合大小参数。

专家们使用最大树深度来理解内存使用和模型性能之间的权衡。例如,总深度的树具有最佳性能,尽管可能需要额外的内存。然而,具有最大树深度的rf根据训练数据规模呈线性比例扩展。

这取决于每个数据点是否为数据集添加了一些新特征。同时,树的深度根据叶子节点的数量以粗略和对数的方式进行调整。这些事实帮助这些专家为每个数据集设置了一个最大树大小,以增强所讨论模型的效率。

如何创建不变性理论?

您可以通过假设您拥有一个表示为g的显示样式,其中g表示一个群组,以及一个表示为v的特定无限维向量空间,并且还应该有一个表示为k的显示域,其中k表示复数。

v显示中的g表示将是一个群同态 {displaystyle pi :gto gl(v)}pi :gto gl(v),它引发了g在v上的群作用。因此,如果 {displaystyle k[v]}k[v] 是在v上的多项式函数的向量空间,则 {displaystyle g}g 对 {displaystyle v}v 的群作用产生了 {displaystyle k[v]}k[v] 的作用。

公式如下:

{displaystyle (gcdot f)(x):=f(g^{-1}(x))qquad forall xin v,gin g,fin k[v].}{displaystyle (gcdot f)(x):=f(g^{-1}(x))qquad forall xin v,gin g,fin k[v].}

幸运的是,在使用此操作时,您可以自然地考虑所有多项式函数子空间。在这个特定的群作用下,这些函数是不变的。您最终的不变理论将是对于所有的{displaystyle gin g}gin g,您可以表示为{displaystyle k[v]^{g}}k[v]^{g}。

不变理论的起源

不变理论有着悠久而有趣的历史。然而,它的历史始于19世纪,下面我们将讨论一个与之相关的人:

乔治·布尔

乔治·布尔是一位数学家,他发明了不变理论,于1815年11月2日出生于英国林肯郡,在爱尔兰的巴林坦普尔于1864年12月8日去世。他因建立现代的布尔代数(也称为符号逻辑)而闻名,这在设计先进的计算机电路中得到了应用。

布尔从他的父亲那里获得了数学技能,他的父亲是一个鞋匠,他还教他如何设计光学仪器。他通过自学培养了自己的数学技能。十六岁时,他在几个村庄学校教书,然后在二十岁时开办了自己的学校。布尔把所有的闲暇时间都用来阅读数学。

1839年,布尔遇到了苏格兰数学家邓肯·f·格雷戈里,他是《剑桥数学杂志》的编辑。格雷戈里成为布尔的导师,教他如何撰写数学论文以供发表。1841年,布尔向数学专家提交了一篇研究论文。他的研究涉及解析变换和微分方程,以及线性变换代数的障碍。布尔的所有论文都强调了不变性,他后来还写了一篇关于如何结合微积分和代数的论文。

同年,也就是1841年,布尔在他的《线性变换概述》中引入了一个新的数学分支,即现今的不变理论。不变理论后来启发了爱因斯坦在相对论研究中的工作。

机器学习与人工智能插图。计算机显示着一个带有自动无线机器人手臂的示意屏幕。

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不变理论的应用

不变理论听起来可能很复杂,但它在我们日常生活中有许多实际应用。以下是不变理论的一些应用:

马尔可夫链

马尔可夫链是从一个特定状态空间到另一个状态空间的随机转换过程。它是一个无记忆过程,尽管各个阶段是相互关联的。这意味着你只能根据当前状态分布来预测下一个状态分布。有趣的是,这个下一个阶段与转换前的原始状态完全没有关系。

马尔可夫链使用不变理论来确定由两个相互关联的机制生成的随机过程的概率。马尔可夫链中的一个状态在链中有一定数量的状态,而另一个状态具有多个随机函数。数学家使用马尔可夫链来识别系统状态之间的随机转换。

数学家使用马尔可夫链来创建应用程序中的模型序列。马尔可夫链还帮助专家在机器人监控、变压器健康评估、并行计算、数据建模和信息新鲜度预测方面做出预测。

区块链挖矿

不变量理论的其他应用涉及区块链挖掘技术。由于区块链挖掘的排队系统使用节点,它借用了不变量理论的很多概念。专家们还使用不变量理论来确定区块链排队系统的方法改进和性能分析策略。

利用不变量理论,这些专家们定义了基本参数之间的重要关系,以成功处理比特币确认。比特币确认时间线遵循特定的概率分布函数。

不变量理论在现实世界中的例子

普通生活中的情况都使用不变量理论。例如:

几何学

david mumford 提出的当前几何学不变量理论是不变量理论的应用之一。根据 mumford 的观点,一个群作用必须使用坐标环来捕捉不变量的细节,才能存在商环。mumford 的概念广泛应用于不同的嵌入技术。

计数

无论何时你在计数某些东西,都在应用不变量理论。例如,无论从哪个数字开始计数,数字永远不会改变。这意味着数字是不变量。

计算机科学

不变量理论在计算机程序执行中也是常见的应用。计算机科学家使用不变量理论来创建逻辑断言,以确定计算机应用程序是否正确。

接下来……

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